（1）设$\widehat {MN}$所在圆的圆心为点$O$

如图，连接$OM$，$OP$，

$\because $点$P$是$MN$的中点，

$\therefore OP\bot MN$，$MP=NP=12cm$，

$\because PQ\bot MN$，

$\therefore O$、$P$、$Q$共线，

设$\widehat {MN}$所在圆的半径为$r$，

$\therefore OP=r-8$，

在$Rt\triangle OMP$中，由勾股定理得：

$\left(r-8\right)^{2}+12^{2}=r^{2}$，

解得$r=13$，

$\therefore \widehat {MN}$所在圆的半径为$13cm$.

$(2)$如图，点$O$即为$\widehat {MN}$所在圆的圆心$O$的位置，过点$P$作$PT\bot ON$于点$T$，

$\because sin∠PON=\frac{PN}{ON}=\frac{12}{13}$，

$\therefore sin∠PON=\frac{PT}{OP}=\frac{12}{13}$，

又$OP=r-8=5$，

$\therefore PT=\frac{12}{13}×5=\frac{60}{13}(cm)$，即点$P$上升的高度为$\frac{60}{13}cm$；

$(3)\because sin∠PON=\frac{PN}{ON}=\frac{12}{13}$，

$\therefore \angle PON=67^{\circ}$，$MN=24cm$，

$\therefore \angle PNO=90^{\circ}-\angle PON=90^{\circ}-67^{\circ}=23^{\circ}$，

$\therefore $点$M$经过的路径的长为

$\frac{23π×24}{180}=\frac{46π}{15}(cm)$.